Пирамида как объемная фигура

Каждый знает о египетских пирамидах, поэтому хорошо представляет, о какой фигуре пойдет речь. Тем не менее египетские каменные сооружения являются лишь частным случаем огромного класса пирамид.

Рассматриваемый геометрический объект в общем случае представляет собой многоугольное основание, каждая вершина которого соединена с некоторой точкой в пространстве, не принадлежащей плоскости основания. Данное определение приводит к фигуре, состоящей из одного n-угольника и n треугольников.

Любая пирамида состоит из n+1 граней, 2*n ребер и n+1 вершины. Поскольку рассматриваемая фигура является совершенным полиэдром, то числа отмеченных элементов подчиняются равенству Эйлера:

2*n = (n+1) + (n+1) — 2.

Многоугольник, находящийся в основании, дает название пирамиды, например, треугольная, пятиугольная и так далее. Набор пирамид с разными основаниями приведен на фото ниже.

Точка, в которой n треугольников фигуры соединяются, называется вершиной пирамиды. Если из нее опустить на основание перпендикуляр и он пересечет его в геометрическом центре, тогда такая фигура будет называться прямой. Если это условие не выполняется, то имеет место наклонная пирамида.

Прямая фигура, основание которой образовано равносторонним (равноугольным) n-угольником, называется правильной.

Формула объема пирамиды


Для вычисления объема пирамиды воспользуемся интегральным исчислением. Для этого разобьем фигуру параллельными основанию секущими плоскостями на бесконечное число тонких слоев. Рисунок ниже показывает четырехугольную пирамиду высотой h и длиной стороны L, в которой четырехугольником отмечен тонкий слой сечения.

Площадь каждого такого слоя можно вычислить по формуле:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Здесь A0 — площадь основания, z — значение вертикальной координаты. Видно, что если z = 0, то формула дает значение A0.

Чтобы получить формулу объема пирамиды, следует вычислить интеграл по всей высоте фигуры, то есть:

V = ∫h0(A(z)*dz).

Подставляя зависимость A(z) и вычисляя первообразную, приходим к выражению:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)|h0 = 1/3*A0*h.

Мы получили формулу объема пирамиды. Чтобы найти величину V, достаточно умножить высоту фигуры на площадь основания, а затем результат поделить на три.

Заметим, что полученное выражение справедливо для вычисления объема пирамиды произвольного типа. То есть она может быть наклонной, а ее основание представлять собой произвольный n-угольник.

Правильная пирамида и ее объем


Полученную в пункте выше общую формулу для объема можно уточнить в случае пирамиды с правильным основанием. Площадь такого основания вычисляется по следующей формуле:

A0 = n/4*L2*ctg(pi/n).

Здесь L является длиной стороны правильного многоугольника с n вершинами. Символ pi — это число пи.

Подставляя выражение для A0 в общую формулу, получаем объем правильной пирамиды:

Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).

Например, для треугольной пирамиды эта формула приводит к следующему выражению:

V3 = 3/12*L2*h*ctg(60o) = √3/12*L2*h.

Для правильной четырехугольной пирамиды формула объема приобретает вид:

V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.

Определение объемов правильных пирамид требует знания стороны их основания и высоты фигуры.

Пирамида усеченная

Предположим, что мы взяли произвольную пирамиду и отсекли у нее часть боковой поверхности, содержащей вершину. Оставшаяся фигура называется усеченной пирамидой. Она состоит уже из двух n-угольных оснований и n трапеций, которые их соединяют. Если секущая плоскость была параллельна основанию фигуры, тогда образуется усеченная пирамида с параллельными подобными основаниями. То есть длины сторон одного из них можно получить, умножая длины другого на некоторый коэффициент k.


Рисунок выше демонстрирует усеченную правильную шестиугольную пирамиду. Видно, что верхнее основание ее так же, как и нижнее, образовано правильным шестиугольником.

Формула объема усеченной пирамиды, которую можно вывести, используя подобное приведенному интегральное исчисление, имеет вид:

V = 1/3*h*(A0 + A1 + √(A0*A1)).

Где A0 и A1 — площади нижнего (большого) и верхнего (маленького) оснований соответственно. Переменной h обозначается высота усеченной пирамиды.

Объем пирамиды Хеопса

Любопытно решить задачу на определение объема, который заключает внутри себя самая большая египетская пирамида.

В 1984 году британские египтологи Марк Легнер (Mark Lehner) и Джон Гудман (Jon Goodman) установили точные размеры пирамиды Хеопса. Ее первоначальная высота равнялась 146,50 метра (в настоящее время около 137 метров). Средняя длина каждой из четырех сторон сооружения составила 230,363 метра. Основание пирамиды с высокой точностью является квадратным.

Воспользуемся приведенными цифрами для определения объема этого каменного гиганта. Поскольку пирамида является правильной четырехугольной, тогда для нее справедлива формула:

V4 = 1/3*L2*h.


Подставляем цифры, получаем:

V4 = 1/3*(230,363)2*146,5 ≈ 2591444 м3.

Объем пирамиды Хеопса равен практически 2,6 млн м3. Для сравнения отметим, что олимпийский бассейн имеет объем 2,5 тыс. м3. То есть для заполнения всей пирамиды Хеопса понадобится больше 1000 таких бассейнов!

Источник: FB.ru

Мифы и реалии пирамиды Хеопса, часть 1: количество блоков
Мифы и реалии пирамиды Хеопса, часть 1: количество блоков

О пирамиде Хеопса написаны, наверное, десятки тысяч книг и сотни тысяч, если не миллионы, других текстов. И почти в каждой из этих публикаций, включая почтенные энциклопедии, можно встретить сопровождающиеся почти одними и теми же словами одно и то же число: 2 300 000. Именно столько блоков весом в среднем 2,5 тонны каждый якобы содержится в кладке этого грандиозного сооружения. Иногда, впрочем, фигурируют другие цифры: 2,5 миллиона блоков.

Обнажившаяся основная кладка пирамиды Хеопса (Хуфу). (*)

Авторитетнейшим источником-виновником этого праздника инкубаторского единодушия стал никто иной как сам сэр Флиндерс Питри, знаменитый египтолог, ставший в свое время основоположником системного научного подхода в исследованиях и раскопках.


Уильям Мэттью Флиндерс Питри, 1853—1942 г.г. (*)

Начиналось его научная деятельность с романтики, мистики и юношеской веры в чудеса. Историческо-астрономические, круто замешанные на мудреных арифметических выкладках теории Х.Тэйлора, Пиацци Смита и других сумрачных искателей всевозможных зашифрованных в размерах древних построек знаний и предсказаний были тогда в моде и будоражили умы многих. Питри решил разобраться самостоятельно в том, что есть что (и заодно проверить полноту и точность измерений П. Смита). Он обзавелся новейшими на то время измерительными инструментами и отправился в Египет.

У своей первой цели, у пирамид и развалин храмов в Гизэ, Питри проработал полтора года, с декабря 1880 по апрель 1882 года. Пирамиду Хеопса, этот гипотетический главный «источник» данных по библейской истории и «книгу всего прошлого, настоящего и грядущего» он облазил много раз сверху донизу и везде вокруг. И заново обмерил ее точнее и полнее, чем даже сам П. Смит.


Результатом стала фундаментальная 265-страничная иллюстрированная книга "Пирамиды и храмы Гизы", опубликованная в Лондоне в 1883 году (тираж этого узкоспециализированного труда полностью разошелся за невероятные несколько месяцев) – и полное разочарование в теориях своих недавних кумиров. В первую очередь потому, что многие данные из их полевых исследований не слишком соответствовали реальности, а иные утверждения при беспристрастном анализе оказались более чем шаткими.

Чтобы не удаляться от объектов исследований, будущий основоположник поселился в заброшенной гробнице здесь же, на плато.

Из рассказа Ф. Питри:

«Чудесное жилище я устроил в гробнице, вытесанной в скале. Приделал только дверь и оконную раму, поставил этажерку, подвесил гамак из рогожи — в общем устроился так комфортабельно, что лучшего желать не приходилось… Около девяти утра я начинал работу. Когда мы делали замеры, мой слуга Али держал над теодолитом зонт, чтобы предохранить его от солнца, до моей спины тень уже не доходила. Али устраивал себе полуденный отдых, а я старался работать как можно дольше. Когда темнело, я собирал инструменты, аккуратно складывал их в гробнице, а слугу отпускал. Около шести или семи я разжигал костер и углублялся в расчеты, пока в котелке не закипала вода, затем ужинал (какой-нибудь суп, матросские сухари и помидоры, которые в Египте великолепны, немного шоколада), после десятичасовой работы без еды и питья все это казалось чрезвычайно вкусным и шло только на пользу.


Вечернее умывание… и я опять садился за расчеты и просиживал над ними примерно до полуночи… Во время раскопок я вставал рано, на рассвете. При обследовании Великой пирамиды я всегда выходил на работу вечером, как только удалялись туристы, и с сонным Али в качестве ассистента трудился до полуночи, а то и до утра; так получалось, что иногда я работал… по четырнадцати часов без перерыва».

Ф. Питри у входа в свою скальную гробницу в Гизэ (фото 1880 г.)

Так вот, однажды, в конце очередного рабочего дня на Пирамиде, сидя за рабочим столом в своей обжитой гробнице, он взял листок бумаги, карандаш и проделал несколько арифметических действий. Ему уже были известны надежные результаты обмеров основания и наклон граней.


три вычислил объем ступенчатой неограненной «заготовки» Пирамиды (с учетом ее последующего превращения строителями в гигантский геометрический полуоктаэдр) – и после этого разделил его на объем некоего «среднего» блока. Трудно сказать, чем руководствовался исследователь в выборе размеров и веса этого теоретического осредненного «кирпичика» (он имел на то полное право, потому что лучше всех разбирался в хитросплетениях размеров того, что месяцами измерял и обследовал), но получилось, что Пирамида состоит как раз из знаменитых 2 300 000 блоков.

«Средний» блок пирамиды Хеопса из расчета Питри. (*)

Много воды в Ниле утекло с тех пор, на смену бумаге и карандашу пришли сначала арифмометры, потом ламповые вычислители и даже программируемые калькуляторы – но результат старинных вычислений на листочке в неверном свете керосиновой лампы, видимо, мало кому казался сомнительным. Впрочем, в распоряжении даже простых смертных оказались первые простенькие доступные персоналки. Возможности их были, по сегодняшним понятиям, смешными, но считали они хорошо.


Цитата и иллюстрация из книги Р. Валеева «Тайны египетских пирамид», издательство «Знание», Москва, 1991, серия «науки о Земле», 3/1991:

« … можно поступить намного корректнее. Высота каждого слоя хорошо известна, и если по достаточно качественной фронтальной фотографии определить пропорции и размеры видимых сторон хотя бы сотни-полутора блоков и учесть оптические искажения, то мы будем располагать весьма надежными представлениями об истинных размерах «кирпичей» пирамиды. Остается заложить это все в компьютер и заставить его сложить все в форме неограненной пирамиды.

Результаты: в своем первозданном виде ее тело состояло приблизительно из 4 055 000 основных блоков, из 145 600 облицовочных камней и приблизительно из двух-трех сотен других крупных, тщательно обработанных и подогнанных друг к другу блоков, плит и балок, составляющих нестандартные элементы – стены, пол и перекрытия всех помещений и проходов в глубинах пирамиды. Итого не 2,3 или 2,5 миллиона, а около 4,2 миллионов блоков.

Все камни облицовки и основной кладки – мегалиты, т.е. камни, по массе намного превышающие физические возможности одного человека. Именно это позволило пирамиде устоять в веках, и не время и не природа были ее главными противниками, а вандализм человека.

Все вышесказанное верно в том случае, если строители истово избегали неизбежной из-за разности размеров камней несплошности кладки. Однако вряд ли это имело место, нормальный человек никогда не будет заниматься такой бессмысленной работой, тем более настолько трудоемкой.

Никто еще не смог заглянуть глубоко в толщу уложенных тысячелетия назад камней, поэтому надежных количественных данных о пустотах нет. Рано или поздно они появятся, и тогда для определения еще более точной массы пирамиды надо будет уменьшить число основных нуммулитовых блоков на эти несколько процентов».

Отношение ширины к высоте видимых граней реальных блоков пирамиды Хуфу (вероятностная оценка: левая гауссиана – для 1 … 13-го слоев, правая – для 14-го и всех последующих слоев).

В этом изданном тексте прискорбным образом пропало подчеркнутое (в рукописи было, но в наборе потерялось, это бывает в спешке и при отсутствии финальной проверки со стороны автора) самое существенное число: программа, руководствуясь определенными Питри конкретными реальными высотами каждого из двух с лишним сотен слоев кладки, выдала, что в Пирамиде приблизительно 4 200 000 блоков: на 82,6% больше, чем принято думать. Это все то, что геометрически заполняет объем «неограненного» «ступенчатого» полуоктаэдра, который в «ограненном» виде обретает форму правильного геометрического тела размерами 440*440*280 царских локтей по 524,0524 мм (т.е. 230,583 м * 230,583 м * 146,735 м). Именно такие проектные габариты строения и такую величину применявшегося в Гизэ строительного модуля-эталона Питри выявил на основе многочисленных перекрестных обмеров элементов здешних сооружений и их внутренних коридоров и помещений.

Информации за последнее время и в самом деле стало больше. С учетом новых полевых данных и оценок уже можно сказать еще более определенно о том, из какого все-таки количества блоков была сложена пирамида Хеопса:

a) объем «неограненной» (как и в вычислениях у Ф.Питри) Пирамиды: около 2 637 600 куб. м

b) объем всех известных проектных пустот внутри (коридоров, помещений, технологических объемов): около 80 000 куб. м

c) наиболее реалистичный из предполагаемых в разных источниках объем существовавшего на плато Гизэ скального холма, который был встроен в пространство нижних слоев кладки: около 10% объема Пирамиды

d) приблизительный суммарный объем, приходящийся на неизбежные щели и пустоты между блоками, получающиеся из-за небрежной подгонки, геометрических «неудобий», особенностей кладки и т.п. (независимо от того, заполнены эти пустоты щебеночной забутовкой, песком, известково-гипсовым раствором – или они остались пустыми): около 7% объема Пирамиды

Итого, с учетом уменьшения формального объема за счет готовой скалы и любых пустот: пирамиду Хеопса сложили из приблизительно 3 540 000 блоков самых разных размеров и весов: от полутора десятков тонн в первых слоях и почти 80 тонн в «разгрузочных камерах» до нескольких сотен килограммов у самой вершины. «Средний блок» — это что-то вроде средней температуры по больнице, не более того.

Сюда входят около 3 390 000 нуммулитовых известняковых «основных» блоков (это они сейчас всем видны), около 145 600 белоснежных облицовочных блоков из турского известняка (почти полностью утрачены) и около 400 крупных нестандартных блоков и плит из гранита и качественного известняка (применены в облицовке помещений или в особых узлах конструкции).

Плотность основного примененного материала, известняка (т.е. его удельный вес без учета пористости): 2,57 … 2,76 т/куб. м

Объемный вес этого материала (т.е. его удельный вес с учетом пористости) в разных карьерах мира варьируется от 0,93 до 1,96. Чем больше объемный вес, тем прочнее такой известняк. Явно некачественного нуммулитового известняка в карьерах Гизэ не так уж и много и его, понятно, строители избегали.

Если предположить, что объемный вес материала Пирамиды в среднем составляет примерно 1,87 т/куб. м, то это будет означать, что строители добыли, обработали, переместили, подняли и смонтировали для последующего превращения в безупречный геометрический полуоктаэдр с достаточно сложной внутренней структурой приблизительно 4 миллиона тонн конструкционного камня.

— — —

(*) иллюстрация из интернета

Если понравилось рассказанное – не стесняйтесь кликнуть по значку «Во!» (это где большой палец вверх). И – подписывайтесь на канал.

Источник: zen.yandex.ru

История и строительство Великой пирамиды Хеопса

Считается, что воплощением царских амбиций в жизнь занимался некий Хемион – племянник и визирь фараона, а по совместимости еще и придворный архитектор. Пирамида Хеопса была построена около 2540 года до н.э., а началось ее строительство двадцатью годами раньше – где-то в 2560 году до н.э.

Более двух миллионов огромных камней понадобилось, чтобы соорудить Великую пирамиду в Гизе. Самые большие блоки весили несколько десятков тонн. Для постройки весом в 6,4 млн тонн, чтобы она не ушла под землю под собственной тяжестью, выбрана прочная скалистая почва. Гранитные глыбы доставлены из карьера, который находился на расстоянии 1000 км. Ученые до сих пор не могут найти ответа на вопрос, как переносились эти камни и как строили пирамиду Хеопса

Много споров вызывает и предназначение самой высокой пирамиды в Древнем Египте. Согласно самому распространенному мнению, это действительно гробница Хеопса (второго фараона IV династии правителей) и членов его семьи. Но тем не менее дискуссии вокруг загадки пирамиды не утихают. Например, с точки зрения некоторых астрономов, здесь была оборудована своего рода обсерватория, так как вентиляционные каналы и коридоры с удивительной точностью указывают на звезды Сириус, Тубан, и Альнитак. Также интересно, что при строительстве пирамиды Хеопса учтены и координаты магнитных полюсов Земли.

Пирамида Хеопса

Геометрия и описание пирамиды Хуфу

Размеры пирамиды Хеопса удивляют даже современного человека. Ее основание занимает огромную площадь в 53 тыс. квадратных метров, что соразмерно десяти футбольным полям. Не менее поражают и другие параметры: длина основания – 230 м, длина бокового ребра – столько же, а площадь боковой поверхности – 85,5 тыс. квадратных метров.

Сейчас высота пирамиды Хеопса равна 138 метрам, однако изначально она достигала 147 метров, что можно сравнить с пятидесятиэтажным небоскребом. Годы наложили свой отпечаток на сохранность пирамиды. Многочисленные землетрясения за тысячи лет обрушили каменный верх сооружения, а гладкий камень, которым были облицованы внешние стены, осыпался. И тем не менее интерьер достопримечательности, невзирая на множество грабительских и вандальских вторжений, остался практически неизменным.

Расположенный с севера вход в пирамиду первоначально находился на высоте почти 16 метров и был заделан гранитной пробкой. Сейчас же туристы попадают внутрь через проделанный на десять метров ниже огромный пролом, оставленный в 1820 году арабами во главе с халифом Абдуллах аль-Мамуном, предпринявшими попытку найти будто бы спрятанные здесь сокровища.

Пирамида Хеопса

Внутри пирамиды Хеопса находятся три усыпальницы, расположенные одна над другой. Самая нижняя, недостроенная подземная палата, расположена в основании скалы. Над ней находятся погребальные камеры царицы и фараона, к которым ведет поднимающаяся вверх Большая галерея. Теми, кто построил пирамиду, создана сложная система коридоров и шахт, план которых до сих пор изучается учеными. Египтологи выдвинули целую теорию понимания загробной жизни людей того времени. Этими доводами и объясняются потайные двери и другие особенности конструкции.

Вот уже сколько лет Пирамида фараона Хеопса в Гизе, как и Большой Сфинкс,  не спешит раскрывать все свои секреты. Для туристов она остается самой яркой достопримечательностью Египта. Невозможно до конца постичь тайны ее коридоров, шахт и вентиляционных каналов. Ясно лишь одно: Великая пирамида – это плод гениальной конструкторской мысли.

Пирамида Хеопса внутри

Интересные факты о пирамиде Хеопса

  • Существует множество мнений о том, когда построили пирамиду Хеопса и кто это сделал. Самые оригинальные предположения – это различные версии о строительстве, завершенном еще задолго до всемирного потопа не пережившими его цивилизациями, а также гипотезы об инопланетных создателях.
  • Несмотря на то что никто не знает точного времени, когда была построена пирамида Хеопса, в Египте на официальном уровне празднуется дата начала ее строительства – 23 августа 2560 г. до н.э.
  • Последние раскопки, проведенные в начале ХХI века, свидетельствуют, что труд строителей пирамид был тяжелым, но вместе с тем о них хорошо заботились. У них было калорийное питание из мяса и рыбы и удобные спальные места. Многие египтологи придерживаются мнения, что они даже не были рабами.
  • Изучая идеальные пропорции Великой пирамиды в Гизе, ученые пришли к выводу, что уже в те времена древние египтяне очень хорошо знали, что такое золотое сечение, и активно использовали его принцип при создании чертежа.

Пирамида Хеопса_камни

  • Внутри пирамиды Хеопса нет никаких декоративных росписей и исторических надписей, кроме небольшого портрета в проходе к палате царицы. Нет даже никаких свидетельств того, что пирамида вообще принадлежала фараону Хуфу.
  • До 1300 года в течение трех тысячелетий Великая пирамида была самым высоким искусственным сооружением на планете, пока не построили превысивший ее кафедральный собор в Линкольне.
  • Самый тяжелый каменный блок, использованный в постройке пирамиды, весит 35 тонн и размещен он над входом в погребальную камеру фараона.
  • Внешние плиты каирской пирамиды до вандальского вторжения арабов в Египет были настолько тщательно отшлифованы, что при свете луны излучали загадочное мерцание, а в лучах солнца их облицовка сияла мягким персиковым светом.
  • Для исследования помещений, в которые человеку трудно добраться, ученые использовали специального робота.
  • Ежедневно пирамиды посещают от 6 до 10 тыс. туристов, а за год – около 3 млн.

Пирамида Хеопса с высоты

Полезная информация для туристов

В настоящее время в музее на южной стороне пирамиды можно познакомиться с экспонатами, которые были найдены при раскопках и в самой пирамиде. Есть возможность увидеть восстановленную уникальную лодку из кедра (Солнечную Ладью), которую соорудили древние египтяне. Также здесь можно купить сувениры на память. А следующей точкой обзора на территории будет Большой Сфинкс.

По вечерам в Гизе демонстрируют светозвуковое шоу: поочередное прожекторное освещение местных достопримечательностей сопровождается увлекательным рассказом, в том числе на русском и на английском языке.

Пирамида Хеопса фото внутри

Часы работы музейного комплекса в Гизе

  • ежедневно с 8.00 до 17.00;
  • зимой – до 16.30;
  • во время Рамадана – до 15.00.

Цены билетов

  • входной билет в зону Гизы для иностранцев – $8;
  • вход в пирамиду Хеопса – $16;
  • осмотр Солнечной ладьи – $7.

Для детей и студентов цены обычно в два раза ниже.

Пирамида Хеопса и Большой Сфинкс

Особенности посещения и полезные советы

  • Для посещения пирамиды Хеопса продают всего 300 билетов в день: 150 – в 8.00 и 150 – в 13.00.
  • Отправляться к пирамидам лучше всего утром, чтобы и билет захватить, и уберечься от полуденного зноя.
  • Вход в пирамиду очень низкий, придется метров 100 идти согнувшись, к тому же внутри очень сухо, жарко и слегка пыльно. Людям, страдающим клаустрофобией, болезнями дыхательных путей и сердца вод нежелателен.
  • Внутри запрещена фото- и видео-съемка. Что же касается фотографий на фоне Великой пирамиды, то лучше не давать своей камеры в чужие руки, так как есть частые случаи воровства.
  • Делать фото пирамиды Хеопса (как и других пирамид) лучше утром или вечером, когда солнце не светит слишком ярко, иначе изображение получится плоским.
  • Взбираться на пирамиду категорически запрещено.
  • Для местных жителей туристы – это главный и часто единственный источник заработка, поэтому вам постоянно будут предлагать что-то купить. Поэтому хорошо думайте, нуждаетесь ли вы в тех или иных предложениях, и в любом случае обязательно торгуйтесь. Чаевые давайте только тем, кто действительно их заслужил.
  • Будьте бдительны: вокруг очень много карманников.

Пирамида Хеопса_вид на город Каир

Как добраться до пирамиды Хеопса

Адрес: Египет, Каир, район Эль-Гиза, улица Эль-Харам

Доехать из Каира:

  • На метро (линия №2) — до станции Гиза (Giza station). Затем пересесть на автобус №900 или №997 и ехать вдоль Al-Haram avenue минут 15–20.
  • На автобусе №355 и №357 от аэропорта и Гелиополя. Ходит каждые 20 минут.
  • На такси до Эль-Харам.

Из Хургады или Шарм-эль-Шейха: на туристическом автобусе или такси.

Источник: planetofhotels.com


Categories: Пирамида

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.